Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

Propriété

Soit  `(u_n)`  une suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` .
Pour tout entier naturel  `n` , on a :  \(\boxed{u_0+u_1+...+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}}\)

Démonstration

Soit  `(u_n)`  une suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` .
Soit `n`  un entier naturel. Notons  `S_n=u_0+u_1+...+u_n` . 
`S_n=\color{green}{u_0}+\color{red}{u_1}+\color{purple}{u_2}+...+\color{blue}{u_n}=\color{green}{u_0}+\color{red}{(u_0+r)}+\color{purple}{(u_0+2r)}+...+\color{blue}{(u_0+nr)}`
`S_n=\color{green}{u_0}+\color{red}{u_0}+\color{purple}{u_0}+...+\color{blue}{u_0}+(\color{red}{1}+\color{purple}{2}+...+\color{blue}{n})r=(n+1)u_0+\frac{n(n+1)}{2}r`
`S_n=(n+1)\frac{2u_0+nr}{2}=(n+1)\frac{u_0+(u_0+nr)}{2}=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}` .

Remarque

On peut également calculer la somme des termes d'une suite arithmétique en commençant à  `u_p` , où  `p`  est un entier naturel inférieur ou égal à  `n` .
On a alors :  `u_p+u_(p+1)+...+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}` .
On pourra retenir que la somme des termes d'une suite arithmétique s'obtient en calculant :  `\text{Nombre de termes}\times\frac{\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}}{2}` .